Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若函數(shù)f（x）滿足條件：存在[a，b]⊆D，使得f（x）在區(qū)間[a，b]上的值域?yàn)閇$\frac{a}{n}，\frac{n}$]（n∈N^*），則稱g（x）為“n倍縮函數(shù)”，若函數(shù)f（x）=log₃（3^x+t）為“3倍縮函數(shù)”，則t的取值范圍為（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{3}$）
• B． （0，$\frac{2\sqrt{3}}{9}$）
• C． （0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
• D． （0，1）

Answer 1

分析 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為t=${3}^{\frac{x}{3}}$-3^x有兩個(gè)不同的解，令${3}^{\frac{x}{3}}$=m，換元可得t=m-m³有兩個(gè)不同的正數(shù)解，即y=t與y=m-m³有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求導(dǎo)數(shù)可得y=m-m³在（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）單調(diào)遞減，可得y取最大值，可得t的范圍．

解答 解：由題意可得[a，b]⊆D，使得log₃（3^a+t）=$\frac{a}{3}$，log₃（3^b+t）=$\frac{3}$，
即方程log₃（3^x+t）=$\frac{x}{3}$有兩個(gè)不同的解，即3^x+t=${3}^{\frac{x}{3}}$有兩個(gè)不同的解，
變形可得t=${3}^{\frac{x}{3}}$-3^x有兩個(gè)不同的解，令${3}^{\frac{x}{3}}$=m，則m＞0
換元可得t=m-m³有兩個(gè)不同的正數(shù)解，
即y=t與y=m-m³有兩個(gè)不同交點(diǎn)，
求導(dǎo)數(shù)可得y′=1-3m²，
由y′=1-3m²＜0可解得m＜-$\frac{\sqrt{3}}{3}$或m＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴y=m-m³在（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）單調(diào)遞減，
當(dāng)m=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，y取最大值$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，
∴要使y=t與y=m-m³有兩個(gè)不同交點(diǎn)需0＜t＜$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的值域，涉及導(dǎo)數(shù)法判函數(shù)的單調(diào)性和轉(zhuǎn)化的思想以及新定義，屬中檔題