Question

已知矩形ABCD中，，BC=1．以AB的中點O為原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系
xOy．
（1）求以A，B為焦點，且過C，D兩點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點P（0，2）的直線l與（1）中的橢圓交于M，N兩點，是否存在直線l，使得以線段MN為直徑的圓恰好過原點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可得點A，B，C的坐標(biāo)分別為．設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．則2a=AC+BC，即，
所以a=2．
所以b²=a²﹣c²=4﹣2=2．
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
（Ⅱ）由題意知，直線l的斜率存在，可設(shè)直線l的方程為y=kx+2．
由得（1+2k²）x²+8kx+4=0．因為M，N在橢圓上，
所以△=64k²﹣16（1+2k²）＞0．
設(shè)M，N兩點坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
則，
若以MN為直徑的圓恰好過原點，則，所以x₁x₂+y₁y₂=0，
所以，x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0，即（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0，所以，，即，得k²=2，
經(jīng)驗證，此時△=48＞0．
所以直線l的方程為，或．即所求直線存在，其方程為．