Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax（a＞0）．
（I）當(dāng)a=1時(shí)，求過點(diǎn)P（-1，0）且曲線y=f（x）相切的直線方程；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，不等式恒成立，求a的取值集合．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=）=-x³+x，f（-1）=1-1=0，即點(diǎn)P在曲線y=f（x）上，
f′（x）=-3x²+1，切線斜率k=f′（-1）=-3+1=-2，
所以與曲線y=f（x）相切的直線方程為：y=-2（x+1），即y=-2x-2；
（Ⅱ），即，
等價(jià)于恒成立，且恒成立，
（1）當(dāng)x=0時(shí)，，即0，顯然成立，a∈R；
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，a≥x²-+，而x²-+在（0，1]上遞增，
所以當(dāng)x=1時(shí)，x²-+取得最大值1，所以a≥1，
故恒成立時(shí)，a≥1；
（2）當(dāng)x=0時(shí)，，即0，顯然成立，此時(shí)a∈R；
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，a≤x²+，
令h（x）=x²+，則h′（x）=2x-=，
當(dāng)0＜x＜時(shí)，h′（x）＜0，h（x）遞減，當(dāng)x≤1時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增，
所以h（x）在（0，1]上的最小值為h（）=+=1，所以a≤1，
故恒成立時(shí)，a≤1，
綜上所述，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，不等式恒成立，a的取值集合{1}．
分析：（I）當(dāng)a=1時(shí)，點(diǎn)P在曲線上，即為切點(diǎn)，切線斜率k=f′（-1），利用點(diǎn)斜式即可求得切線方程；
（Ⅱ）不等式恒成立，等價(jià)于恒成立，且恒成立，分別分離出參數(shù)a后，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值解決即可；
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線上某點(diǎn)處的切線方程、求函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決．