Question

設(shè)函數(shù)D（x）=

1，x為有理數(shù) 0，x為無理數(shù)

，則下列結(jié)論正確的有

 

（把你認(rèn)為正確的序號都寫上）．
①D（x）的值域?yàn)?nbsp;{0，1}               
②D（x）的圖象關(guān)于y軸對稱
③D（x）不是周期函數(shù)                 
④D（x）不是單調(diào)函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：閱讀型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)已知函數(shù)f（x）的解析式，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的定義，函數(shù)周期性的定義及函數(shù)值域，分別判斷四個答案的真假，①②④正確，③錯誤．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

1，x為有理數(shù) 0，x為無理數(shù)

，
D（2）=1，D（3）=1，D（

2

）=0，D（

3

）=0．
顯然函數(shù)D（x）不是單調(diào)函數(shù)，故④正確；
對于任意的有理數(shù)T，當(dāng)x為有理數(shù)時，x+T必為有理數(shù)，此時f（x+T）=f（x）=1；
當(dāng)x為無理數(shù)時，x+T必為無理數(shù)，此時f（x+T）=f（x）=0；
即函數(shù)是周期為任意非0有理數(shù)的周期函數(shù)，故③錯誤；
當(dāng)x為有理數(shù)時，-x必為有理數(shù)，此時f（-x）=f（x）=1；當(dāng)x為無理數(shù)時，-x必為無理數(shù)，此時f（-x）=f（x）=0．故f（x）是偶函數(shù)，即②正確；
函數(shù)值域?yàn)閧0，1}，故①顯然正確；
故答案為：①②④

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是分段函數(shù)與應(yīng)用，函數(shù)的值域及函數(shù)的性質(zhì)，正確理解新定義是解答的關(guān)鍵．