Question

5．△ABC中，已知點A（-2，4），∠B的平分線BE所在直線方程式x-5y+9=0，且邊BC的中點坐標(biāo)為（0，0.5）
（1）求△ABC的面積
（2）若點P是△ABC的外接圓上的動點，求$\frac{2y+3}{2x+3}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)BC邊的中點D關(guān)于∠B平分線的對稱點F在直線AB上，求出AB的直線方程，從而求出B、C點的坐標(biāo)，再由點C到直線AB的距離d以及|AB|的長，求出△ABC的面積S；
（2）由|AB|、|BC|與|AC|的長，得出△ABC是直角三角形，從而求出△ABC的外接圓方程，把$\frac{2y+3}{2x+3}$看作圓M上的點P與定點Q（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）連線的斜率，利用數(shù)形結(jié)合求出它的取值范圍．

解答 解：（1）根據(jù)題意，設(shè)BC邊的中點D關(guān)于∠B平分線的對稱點為F（a，b），
則k_DF=-$\frac{1}{{k}_{BE}}$，即$\frac{b-0.5}{a}$=-5①，
又DF的中點（$\frac{a}{2}$，$\frac{b+0.5}{2}$）在直線x-5y+9=0上，
∴$\frac{a}{2}$-$\frac{5（b+0.5）}{2}$+9=0②，
由①、②組成方程組，解得a=-0.5，b=3；
∴點P（-0.5，3）；
∴直線AB的方程為$\frac{x+2}{-0.5+2}$=$\frac{y-4}{3-4}$，
化簡得2x+3y=8，
再由$\left\{\begin{array}{l}{2x+3y=8}\\{x-5y+9=0}\end{array}\right.$，
解得x=1，y=2，
∴點B（1，2）；
又邊BC的中點坐標(biāo)為（0，0.5），
∴點C（-1，-1）；
∴點C到直線AB的距離為d=$\frac{|2×（-1）+3×（-1）-8|}{\sqrt{{2}^{2}{+3}^{2}}}$=$\sqrt{13}$，
又|AB|=$\sqrt{{（1+2）}^{2}{+（2-4）}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{13}$×$\sqrt{13}$=$\frac{13}{2}$；
（2）△ABC中，|AB|=$\sqrt{13}$，|BC|=$\sqrt{13}$，|AC|=$\sqrt{26}$，
∴△ABC是直角三角形；
∴斜邊AC的中點為M（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴△ABC的外接圓方程為${（x+\frac{3}{2}）}^{2}$+${（y-\frac{3}{2}）}^{2}$=$\frac{13}{2}$；
又$\frac{2y+3}{2x+3}$=$\frac{y-（-\frac{3}{2}）}{x-（-\frac{3}{2}）}$，
∴上式可以看作圓M上的點P（x，y）與定點Q（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）連線的斜率，
設(shè)PQ的斜率為k，則PQ的直線方程為y+$\frac{3}{2}$=k（x+$\frac{3}{2}$），
即kx-y+$\frac{3}{2}$k-$\frac{3}{2}$=0，
則點M（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）到PQ的距離為d=r；
即$\frac{|-\frac{3}{2}k-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}k-\frac{3}{2}|}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{26}}{2}$，
解得k=±$\frac{\sqrt{65}}{13}$；

由圖形得，k的取值范圍是{k|k≤-$\frac{\sqrt{65}}{13}$，或k≥$\frac{\sqrt{65}}{13}$}．

點評 本題考查了直線與圓的應(yīng)用問題，考查了點關(guān)于直線對稱的應(yīng)用問題，也考查了三角形的外接圓方程的應(yīng)用問題，是綜合性題目．