Question

已知平面上的動點(diǎn)Q到定點(diǎn)F（0，1）的距離與它到定直線y=3的距離相等．
（1）求動點(diǎn)Q的軌跡C₁的方程；
（2）過點(diǎn)作直線l₁交C₂：x²=4y于A，B兩點(diǎn)（在第一象限）．若|BF|=2|AF|，求直線l₁的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出Q的坐標(biāo)，根據(jù)條件推斷出x和y的關(guān)系式，化簡求得x和y的關(guān)系，即曲線的方程．
（2）設(shè)出A，B，利用拋物線的定義，表示出|AF|和|BF|，進(jìn)而利用|BF|=2|AF|，求得y₂和y₁的關(guān)系，令直線AB的方程x=t（y-1），與拋物線方程聯(lián)立消去x，表示出y₁+y₂和y₁y₂，聯(lián)立求得y₁和y₂，代入方程②求得t，進(jìn)而求得t．則直線AB的方程可得．

解答： 解：（1）設(shè)Q（x，y），
由條件有

x2+(y-1)2

=|y-3|，
化簡得曲線C₁的方程為：x²=-4y+8．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AF|=y₁+1，|BF|=y₂+1，
由|BF|=2|AF|，得y₂=2y₁+1①
令直線AB方程為x=t（y-1），代入拋物線方程，可得t²y²-（2t²+4）y+t²=0，
∴y₁+y₂=

2t2+4

t2

②，y₁y₂=1③
由①和③聯(lián)立解得：y₁=

1

2

，y₂=2
代入②得：t²=8
依題意直線AB的斜率大于0，即t＞0，
∴t=2

2

故直線AB的方程為x-2

2

y+2

2

=0．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了分析推理和基本的運(yùn)算能力．