Question

【題目】如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)M、N分別是面對(duì)角線A1B與B1D1的中點(diǎn)，設(shè) = ， = ， = ．

（1）以{ ， ， }為基底，表示向量 ；
（2）求證：MN∥平面BCC1B1；
（3）求直線MN與平面A1BD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：
（2）證明：連A1C1、BC1，則N為A1C1的中點(diǎn)，

又M為A1B的中點(diǎn)，

∴MN∥BC1，

又MN平面BCC1B1，BC1平面BCC1B1，

∴MN∥平面BCC1B1

（3）解：∵DA、DC、DD1兩兩垂直，

∴可以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz．

設(shè)正方體棱長為2，

則M（2，1，1），N（1，1，2），A1（2，0，2），B（2，2，0），

D（0，0，0），A（2，0，0），C1（0，2，2），

∴ ， ， ， ，

∵ ， ，

∴ ， ，

∴ 為平面A1BD的法向量，

設(shè)直線MN與平面A1BD所成的角為θ，

則 ，

所以直線MN與平面A1BD所成角的正弦值為 ．

【解析】（1）利用向量的加法，即可得出結(jié)論；（2）連A1C1、BC1 ， 則N為A1C1的中點(diǎn)，證明MN∥BC1 ， 即可證明結(jié)論；（3）以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，求出平面A1BD的法向量，即可求直線MN與平面A1BD所成角的正弦值．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角，需要了解平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則才能得出正確答案．