Question

如圖，在等腰直角△OPQ中，∠POQ=90°，OP=2，點(diǎn)M在線段PQ上，
（Ⅰ）若OM=，求PM的長；
（Ⅱ）若點(diǎn)N在線段MQ上，且∠MON=30°，問：當(dāng)∠POM取何值時，△OMN的面積最��？并求出面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）在△OMP中，利用∠OPM=45°，OM=，OP=2，通過余弦定理，求PM的長；
（Ⅱ）利用正弦定理求出ON、OM，表示出△OMN的面積，利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)我一個角的一個三角函數(shù)的形式，通過角α的范圍，得到相位的范圍，然后利用正弦函數(shù)的值域求解三角形面積的最小值，求出面積的最小值．
解答：解：（Ⅰ）在△OMP中，∠OPM=45°，OM=，OP=2，
由余弦定理可得，OM²=OP²+MP²-2×OP•MPcos45°，
解得PM的長為1或3；
（Ⅱ）設(shè)∠POM=α，0°≤α≤60°，在△OMP中，由正弦定理可得：，
OM=，
同理，ON=，
故
=
=
=
=
=
=
因?yàn)?°≤α≤60°，所以30°≤2α+30°≤150°，
所以當(dāng)α=30°時，sin（2α+30°）的最大值為1，
此時，△OMN的面積最小，面積的最小值．
點(diǎn)評：本題考查正弦定理與余弦定理在三角形中的應(yīng)用，兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用，三角形的最值的求法，考查計算能力與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．