Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線y＝x ²－x－10與x軸的交點(diǎn)為A，與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線BC，交拋物線于點(diǎn)C，連結(jié)AC．現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從O，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒4個(gè)單位的速度沿OA向終點(diǎn)A移動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．線段OC，PQ相交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥OA，交CA于點(diǎn)E，射線QE交x軸于點(diǎn)F．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P，Q移動(dòng)的時(shí)間為t(單位：秒)

（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCA為平行四邊形？請(qǐng)寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程；

（3）當(dāng)t∈（0，）時(shí)，△PQF的面積是否總為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（4）當(dāng)t為何值時(shí)，△PQF為等腰三角形？請(qǐng)寫(xiě)出解答過(guò)程．

 

Answer 1

（1）在y＝x ²－x－10中，令y＝0，得x ²－8x－180＝0．

解得x＝－10或x＝18，∴A(18，0)．········································ 1分

在y＝x ²－x－10中，令x＝0，得y＝－10．

∴B(0，－10)．·························· 2分

∵BC∥x軸，∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為－10．

由－10＝x ²－x－10得x＝0或x＝8．

∴C(8，－10)．························· 3分

∵y＝x ²－x－10＝(x－4)²－

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4，－)．············································· 4分

（2）若四邊形PQCA為平行四邊形，由于QC∥PA，故只要QC＝PA即可．

∵QC＝t，PA＝18－4t，∴t＝18－4t．

解得t＝．······································································· 6分

（3）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了t秒，則OP＝4t，QC＝t，且0＜t＜4.5，說(shuō)明點(diǎn)P在線段OA上，且不與點(diǎn)O，A重合．

∵QC∥OP，     ∴＝＝＝＝．

同理QC∥AF，∴＝＝＝，即＝．

∴AF＝4t＝OP．

∴PF＝PA＋AF＝PA＋OP＝18．················································ 8分

∴S_△PQF ＝PF·OB＝×18×10＝90

∴△PQF的面積總為定值90．·················································· 9分

（4）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了t秒，則P(4t，0)，F(18＋4t，0)，Q(8－t，－10)  t∈（0，4.5）．

∴PQ ²＝(4t－8＋t)²＋10 ²＝(5t－8)²＋100

FQ ²＝(18＋4t－8＋t)²＋10 ²＝(5t＋10)²＋100．

①若FP＝FQ，則18 ²＝(5t＋10)²＋100．

即25(t＋2)²＝224，(t＋2)²＝．

∵0≤t≤4.5，∴2≤t＋2≤6.5，∴t＋2＝＝．

∴t＝－2．································································· 11分

②若QP＝QF，則(5t－8)²＋100＝(5t＋10)²＋100．

即(5t－8)²＝(5t＋10)²，無(wú)0≤t≤4.5的t滿(mǎn)足．························· 12分

③若PQ＝PF，則(5t－8)²＋100＝18 ²．

即(5t－8)²＝224，由于≈15，又0≤5t≤22.5，

∴－8≤5t－8≤14.5，而14.5 ²＝()²＝＜224．

故無(wú)0≤t≤4.5的t滿(mǎn)足此方程．············································· 13分

注：也可解出t＝＜0或t＝＞4.5均不合題意，

故無(wú)0≤t≤4.5的t滿(mǎn)足此方程．

綜上所述，當(dāng)t＝－2時(shí)，△PQF為等腰三角形．··················· 14分