Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}+2kx+1}$（k＞0）．
（1）若對(duì)任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≥$\frac{1}{2}$恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）若對(duì)任意的a，b，c∈R⁺，均存在以$\frac{1}{f（a）}$，$\frac{1}{f（b）}$，$\frac{1}{f（c）}$為三邊邊長(zhǎng)的三角形，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得x²+2kx+1≤2x²+2，即為2k≤x+$\frac{1}{x}$對(duì)x＞0恒成立，運(yùn)用基本不等式求得不等式右邊的最小值，即可得到所求范圍；
（2）求得$\frac{1}{f（x）}$的范圍，由題意可得$\frac{1}{f（a）}$+$\frac{1}{f（b）}$＞$\frac{1}{f（c）}$恒成立，即有2≥k+1，即可得到所求k的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}+2kx+1}$（k＞0），
對(duì)任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≥$\frac{1}{2}$恒成立，
即有x²+2kx+1≤2x²+2，
即為2k≤x+$\frac{1}{x}$對(duì)x＞0恒成立，
由x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，（x=1取得等號(hào)），
則0＜2k≤2，即0＜k≤1．
則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（0，1]；　　　　
（2）$\frac{1}{f（x）}$=$\frac{{x}^{2}+2kx+1}{{x}^{2}+1}$
=1+$\frac{2kx}{{x}^{2}+1}$=1+$\frac{2k}{x+\frac{1}{x}}$，
由x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，（x=1取得等號(hào)），
可得$\frac{1}{f（x）}$∈（1，1+k]．
對(duì)任意的a，b，c∈R⁺，均存在以$\frac{1}{f（a）}$，$\frac{1}{f（b）}$，$\frac{1}{f（c）}$為三邊邊長(zhǎng)的三角形，
即有$\frac{1}{f（a）}$+$\frac{1}{f（b）}$＞$\frac{1}{f（c）}$恒成立，
即有2＜$\frac{1}{f（a）}$+$\frac{1}{f（b）}$≤2k+2，1＜$\frac{1}{f（c）}$≤k+1，
所以2≥k+1，即k≤1，
則0＜k≤1．
則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（0，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和基本不等式，考查三角形存在的條件，以及推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．