Question

11．已知函數(shù)y=|x-1|+|x+7|的最小值為n，則二項(xiàng)式（x+$\frac{1}{x}$）ⁿ展開式中$\frac{1}{{x}^{2}}$的系數(shù)為56（用數(shù)字作答）．

Answer 1

分析 根據(jù)絕對值的幾何意義求出n的值，再利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求出展開式中$\frac{1}{{x}^{2}}$的系數(shù)．

解答 解：由于f（x）=|x-1|+|x+7|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點(diǎn)到1和-7對應(yīng)點(diǎn)的距離之和，
它的最小值為8，故n=8；
二項(xiàng)式（x+$\frac{1}{x}$）ⁿ展開式的通項(xiàng)公式為
T_r+1=${C}_{8}^{r}$•x^8-r•x^-r=${C}_{8}^{r}$•x^8-2r；
令8-2r=-2，解得r=5，
故二項(xiàng)式（x+$\frac{1}{x}$）ⁿ展開式中$\frac{1}{{x}^{2}}$項(xiàng)的系數(shù)為
${C}_{8}^{5}$=${C}_{8}^{3}$=56．
故答案為：56．

點(diǎn)評 本題主要考查絕對值的意義以及利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求某項(xiàng)的系數(shù)問題，是基礎(chǔ)題目．