Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）設(shè)，且，求證:.

Answer 1

【答案】（1）討論見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)的正負(fù)性進行分類討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可以確定的單調(diào)性，設(shè)，可以證明出，根據(jù)，可以證明出，根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式可以得到，最后根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性進行證明即可.

（1）的定義域為，，

當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，由解得，由解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（2）當(dāng)時，，，則在上單調(diào)遞增.設(shè)，且，則，即，所以，可得.因為，所以，所以，即.因為，所以，所以，所以.綜上可得，，且，即.