如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，以原點為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+2=0相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點P（0，1），Q（0，2）．設(shè)M，N是橢圓C上關(guān)于y軸對稱的不同兩點，直線PM與QN相交于點T，求證：點T在橢圓C上．

【答案】分析：（1）利用以原點為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+2=0相切，可得b的值，利用離心率為，即可求得橢圓C的方程；
（2）設(shè)M，N的坐標分別為（x，y），（-x，y），求出直線PM、QN的方程，求得x，y的值，代入橢圓方程，整理可得結(jié)論．
解答：（1）解：由題意，以原點為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+2=0相切，∴b==．
因為離心率e==，所以=，所以a=2．     
所以橢圓C的方程為．
（2）證明：由題意可設(shè)M，N的坐標分別為（x，y），（-x，y），則直線PM的方程為y=x+1，①
直線QN的方程為y=x+2．   ②…（8分）
設(shè)T（x，y），聯(lián)立①②解得x=，y=．            …（11分）
因為，所以（）2+（）2=1．
整理得=（2y-3）2，所以-12y+8=4y2-12y+9，即．
所以點T坐標滿足橢圓C的方程，即點T在橢圓C上．…（14分）
點評：本題考查橢圓的標準方程與性質(zhì)，考查直線方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在△OAB中，點P是線段OB及線段AB延長線所圍成的陰影區(qū)域（含邊界）的任意一點，且
OP
=x
OA
+y
OB
則在直角坐標平面內(nèi)，實數(shù)對（x，y）所示的區(qū)域在直線y=4的下側(cè)部分的面積是
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

1、如圖，在直角坐標平面內(nèi)有一個邊長為a，中心在原點O的正六邊形ABCDEF，AB∥Ox．直線L：y=kx+t（k為常數(shù)）與正六邊形交于M、N兩點，記△OMN的面積為S，則函數(shù)S=f（t）的奇偶性為
偶函數(shù)
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直角坐標平面內(nèi)有一個邊長為a、中心在原點O的正六邊形ABCDEF，AB∥Ox．直線L：y=kx+t（k為常數(shù)）與正六邊形交于M、N兩點，記△OMN的面積為S，則函數(shù)S=f（t）的奇偶性為（　�。�
A、偶函數(shù)B、奇函數(shù)C、不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)D、奇偶性與k有關(guān)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•海珠區(qū)一模）如圖，在直角坐標平面內(nèi)，射線OT落在60°的終邊上，任作一條射線OA，OA落在∠xOT內(nèi)的概率是
1
6
1
6
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標中，一定長m的線段，其端點A、B分別在x軸、y軸上滑動，設(shè)點M滿足=λ(λ是大于0，且不等于1的常數(shù)).

試問：是否存在定點E、F，使|ME|、|MB|、|MF|成等差數(shù)列？若存在，求出E、F的坐標；若不存在，說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案