精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

選修4-5：不等式選講
設(shè)正有理數(shù)x是 $數(shù)學(xué)公式$ 的一個近似值，令y=1+ $數(shù)學(xué)公式$ ．
（Ⅰ）若x $數(shù)學(xué)公式$ ，求證：y＜ $數(shù)學(xué)公式$ ；
（Ⅱ）求證：y比x更接近于 $數(shù)學(xué)公式$ ．

證明：（I）y- $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵x $\text{[math]}$ ，∴x $\text{[math]}$ ＞0，而1- $\text{[math]}$ ＜0，
∴y＜ $\text{[math]}$ ； …（5分）
（II）∵|y- $\text{[math]}$ |-|x- $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |-|x- $\text{[math]}$ |=|x- $\text{[math]}$ |× $\text{[math]}$ ，
∵x＞0， $\text{[math]}$ -2＜0，|x- $\text{[math]}$ |＞0，
∴|y- $\text{[math]}$ |-|x- $\text{[math]}$ |＜0，即|y- $\text{[math]}$ |＜|x- $\text{[math]}$ |，
∴y比x更接近于 $\text{[math]}$ …（10分）
分析：（I）利用作差法，比較y- $\text{[math]}$ 與0的大小關(guān)系，即可得到結(jié)論；
（II）利用作差法，比較|y- $\text{[math]}$ |-|x- $\text{[math]}$ |與0的大小關(guān)系，即可得到結(jié)論．
點評：本題考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是利用作差法，確定差的符號時關(guān)鍵．

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