Question

（2013•烏魯木齊一模）選修4-5：不等式選講
設(shè)函數(shù)，f（x）=|x-1|+|x-2|．
（I）求證f（x）≥1；
（II）若f（x）=

a2+2

a2+1

成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用絕對(duì)值不等式即可證得f（x）≥1；
（II）利用基本不等式可求得

a2+2

a2+1

≥2，要使f（x）=

a2+2

a2+1

成立，需且只需|x-1|+|x-2|≥2即可．

解答：解：（Ⅰ）證明：由絕對(duì)值不等式得：
f（x）=|x-1|+|x-2|≥|（x-1）-（x-2）|=1  …（5分）
（Ⅱ）∵

a2+2

a2+1

=

a2+1+1

a2+1

=

a2+1

+

1

a2+1

≥2，
∴要使f（x）=

a2+2

a2+1

成立，需且只需|x-1|+|x-2|≥2，
即

x＜1 1-x+2-x≥2

，或

1≤x＜2 x-1+2-x≥2

，或

x≥2 x-1+x-2≥2

，
解得x≤

1

2

，或x≥

5

2

．
故x的取值范圍是（-∞，

1

2

]∪[

5

2

，+∞）．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶絕對(duì)值的函數(shù)，考查基本不等式的應(yīng)用與絕對(duì)值不等式的解法，求得

a2+2

a2+1

≥2是關(guān)鍵，屬于中檔題．