Question

設(shè)O為△ABC的外心，且3

OA

+4

OB

+5

OC

=

0

，則△ABC的內(nèi)角C的值為

π

4

．

Answer 1

分析：由3

OA

+4

OB

+5

OC

=

0

，移項(xiàng)得3

OA

+4

OB

=-5

OC

，再平方得：(3

OA

+4

OB

)2=(5

OC

)2，得到 

OA

•

OB

=0，從而∠AOB=

π

2

，最后根據(jù)圓心角等于同弧所對(duì)的圓周的兩倍得△ABC中的內(nèi)角C值．

解答：解：設(shè)外接圓的半徑為R，
∵3

OA

+4

OB

+5

OC

=

0

，
∴3

OA

+4

OB

=-5

OC

，
∴(3

OA

+4

OB

)2=(5

OC

)2，
∴25R²+24

OA

•

OB

=25R²，
∴

OA

•

OB

=0，
∴∠AOB=

π

2

，
根據(jù)圓心角等于同弧所對(duì)的圓周的兩倍得：
△ABC中的內(nèi)角C值為

π

4

故答案為：

π

4

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查三角形外心的應(yīng)用、向量在幾何中的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．