Question

如圖，平面α內(nèi)有一個半圓，直徑為AB，過A作SA⊥平面α，在半圓上任取一點M，連SM、SB，且N、H分別是A在SM、SB上的射影．

(1)求證：NH⊥SB；

(2)這個圖形中有多少個線面垂直關(guān)系?

(3)這個圖形中有多少個直角三角形?

Answer 1

答案：略
提示：

(1)證明：連AM、BM．∵AB為已知半圓直徑，∴AM⊥BM．∵SA⊥平面α，MBα，∴SA⊥MB．∵AM∩SA＝A，∴MB上面SAM．∵AN面SAW，∴BM⊥AN．∵AN⊥SM，∴AN⊥面SMB．∵AH⊥SB于H，則NH為AH在面SMB內(nèi)的射影，∴NH⊥SB (2)解：由(1)知，SA⊥面AMB，BM⊥面SAM，AN⊥面SMB．∵SB⊥AH且SB⊥HN，∴SB⊥平面ANH．∴圖中共有4個線面垂直關(guān)系． (3)解：∵SA⊥平面AMB， ∴△SAB、△SAM均為直角三角形． ∵BM⊥平面SAM， ∴△BMA、△BMS均為直角三角形． ∴AN⊥平面SMB， ∴△ANM、△ANH、△ANS均為直角三角形． ∵SB⊥平面AHN， ∴△SHA、△BHA、△SHN均為直角三角形． 綜上所述，圖中共有10個直角三角形． 本題是考查直線與直線的垂直、直線與平面垂直的判定，解題時以空間的眼光觀察圖形，正確地發(fā)現(xiàn)線面的位置關(guān)系．本題的創(chuàng)新之處在于把垂直關(guān)系的空間化，打破學(xué)生頭腦中國有的平面垂直位置關(guān)系模式，鍛煉了空間想象能力，深化了對三垂線定理及逆定理的理解．