Question

定義“[x]”，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，記函數(shù)f（x）=[x[x]]，x∈R．
（1）若集合A={x|[x]²-2[x]-3≤0}，B={x||f（x）-1|≤1}，求集合A，B；
（2）當(dāng)x∈[0，2ⁿ），n∈N^*時(shí)，記函數(shù)f（x）的值域中的元素個(gè)數(shù)為a_n，求證：

1

a1-1

+

1

a2-1

+…+

1

an-1

＜

11

9

，n∈N^*．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式

分析：（1）首先求出集合A的解集，對(duì)集合B進(jìn)行分類討論求的結(jié)果
（2）結(jié)合實(shí)際對(duì)關(guān)系式，利用疊加法和放縮法對(duì)不等式進(jìn)行證明．

解答： 解：（1）A={x|[x]²-2[x]-3≤0}
則：[x]²-2[x]-3≤0
-1≤[x]≤3
A=[-1，4）
B={x||f（x）-1|≤1}
|f（x）-1|≤1即0≤[x[x]]≤2
下面分區(qū)間進(jìn)行分析：
①當(dāng)x∈[0，1）時(shí)
[x]=0∴[x[x]]=0滿足條件，故x∈[0，1）
②當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，[x]=1
[x[x]]=1滿足條件，故x∈[1，2）
③當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，[x]≥2
x[x]≥2x≥4
[x[x]]≥4不滿足條件，故此時(shí)無解
④當(dāng)x∈[-1，0）時(shí)，[x]=-1
x[x]=-x∈（0，1]
[x[x]]=0滿足條件，故x∈[-1，0）可以成立．
⑤當(dāng)x∈[-2，-1）時(shí)，[x]=-2
x[x]=-2x∈（2，4]，為使[x[x]]≤2，則必須且只需-2x∈（2，3），即x∈（-

3

2

，-1)
此時(shí)解集為：x∈（-

3

2

，-1)
⑥當(dāng)x∈（-∞，-2）時(shí)，[x]≤-3
x[x]＞6即[x[x]]≥6不滿足條件，故此時(shí)無解
綜上所述：B=（-

3

2

，2）
（2）先研究x∈[0，n]時(shí)函數(shù)f（x）的值域中的個(gè)數(shù)記為b_n，下面研究b_n的遞推關(guān)系
當(dāng)x∈[n，n+1]時(shí)，[x]=n，x[x]=nx∈[n²，n²+n）
（2）先研時(shí)函的值域中的元素個(gè)數(shù)，記，下研的遞推關(guān)系：其含有n²+n-n²=n個(gè)正整數(shù)
故b_n+1=b_n+n 由（1）知b₁=1，利用疊加法可得：
b_n=（n-1）+…+2+1+1=

n2-n+2

2

即當(dāng)x∈[0，n）時(shí)，函數(shù)f（x）的值域中的個(gè)數(shù)為

n2-n+2

2

于是當(dāng)x∈[0，2ⁿ]時(shí)，函數(shù)f（x）的值域中的元素的個(gè)數(shù)為
于是當(dāng)an=22n-1+2n-1+1
于是：

1

an-1

-

1

22n-1-2n-1

-

1

2n-1(2n-1)

-

1

2n-1(2n-1+2n-1-1)

≤

1

2n-1(2n-1+2n-2)

-

8

3

-

1

4n

第一項(xiàng)不動(dòng)，從第二項(xiàng)起，利用上式放縮得：

1

a1-1

+

1

a2-1

+…+

1

an-1

≤+

8

3

-(

1

42

+

1

43

+…+

1

4n

)=1+

2

9

(1-

1

4n-1

)1+

2

9

=

11

9

（n∈N⁺）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)：信息函數(shù)的應(yīng)用，分類討論思想在實(shí)際問題中的應(yīng)用，疊加法的應(yīng)用，放縮法在不等式中的應(yīng)用．