Question

已知一個三角形的三邊長為連續(xù)的三個自然數(shù)，且最大角是最小角的2倍，則這個三角形的面積為

 

．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：計算題,解三角形

分析：根據(jù)三角形滿足的兩個條件，設(shè)出三邊長分別為n-1，n，n+1，三個角分別為α，π-3α，2α，由n-1，n+1，sinα，以及sin2α，利用正弦定理列出關(guān)系式，根據(jù)二倍角的正弦函數(shù)公式化簡后，表示出cosα，然后利用余弦定理得到（n-1）²=（n+1）²+n²-2（n-1）n•cosα，將表示出的cosα代入，整理后得到關(guān)于n的方程，求出方程的解得到n的值，從而得到三邊長的值，由海倫公式可得三角形的面積．

解答： 解：設(shè)三角形三邊是連續(xù)的三個自然n-1，n，n+1，三個角分別為α，π-3α，2α，
由正弦定理可得：

n-1

sinα

=

n+1

sin2α

=

n+1

2sinαcosα

，
∴cosα=

n+1

2(n-1)

，
再由余弦定理可得：（n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）n•cosα=（n+1）²+n²-2（n+1）n•

n+1

2(n-1)

，
化簡可得：n²-5n=0，解得：n=5或n=0（舍去），
∴n=5，故三角形的三邊長分別為：4，5，6
由海倫公式知p=

a+b+c

2

=

15

2

，S=

p(p-a)(p-b)(p-c)

=

1575 16

=

15 7

4

．
故答案為：

15 7

4

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，海倫公式以及二倍角的正弦函數(shù)公式，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．