Question

12．已知函數f（x）=（x³-6x²+3x+t）•e^x，t∈R．
（1）當t=1時，求函數y=f（x）在x=0處的切線方程；
（2）若函數y=f（x）有三個不同的極值點，求t的取值范圍；
（3）若存在實數t∈[0，2]，使對任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立，求正整數m的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數，就是f（0），f′（0），求出切線方程即可；
（2）求導函數，利用f（x）有三個極值點，可得f′（x）=0有三個根，構造新函數，確定其單調性，從而可得不等式，即可求t的取值范圍；
（3）不等式f（x）≤x，即（x³-6x²+3x+t）e^x≤x，即t≤xe^-x-x³+6x²-3x，轉化為存在實數t∈[0，2]，使對任意的x∈[1，m]，不等式t≤xe^-x-x³+6x²-3x恒成立，構造新函數，確定單調性，計算相應函數值的正負，即可求正整數m的最大值．

解答 解：（1）∵t=1，f（x）=（x³-6x²+3x+1）•e^x，
∴f'（x）=（x³-3x²-9x+4）•e^x，
∴f'（0）=4；∵f（0）=1，即切點（0，1），
∴y=f（x）在x=0處的切線方程為：y=4x+1．
（2）f′（x）=（3x²-12x+3）e^x+（x³-6x²+3x+t）e^x=（x³-3x²-9x+t+3）e^x
∵f（x）有三個極值點，∴x³-3x²-9x+t+3=0有三個根，
令g（x）=x³-3x²-9x+t+3，g′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）
∴g（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上遞增，（-1，3）上遞減，
∵g（x）有三個零點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）＞0}\\{g（3）＜0}\end{array}\right.$，
∴-8＜t＜24；
（3）不等式f（x）≤x，即（x³-6x²+3x+t）e^x≤x，
即t≤xe^-x-x³+6x²-3x．
轉化為存在實數t∈[0，2]，使對任意的x∈[1，m]，
不等式t≤xe^-x-x³+6x²-3x恒成立．
即不等式2≤xe^-x-x³+6x²-3x在x∈[1，m]上恒成立；
設φ（x）=e^-x-x²+6x-3，則φ（x）=-g^-x-2x+6．
設r（x）=φ（x）=-g^-x-2x+6，則r′（x）=g^-x-2，
因為1≤x≤m，有r′（x）＜0．
故r（x）在區(qū)間[1，m]上是減函數，
又r（1）=4-e^-1＞0，r（2）=2-e^-2＞0，r（3）=-e^-3＜0
故存在x₀∈（2，3），使得r（x₀）=φ′（x₀）=0．
當1≤x＜x₀時，有φ′（x）＞0，當x＞x₀時，有φ′（x）＜0．
從而y=φ（x）在區(qū)間[1，x₀）上遞增，在區(qū)間（x₀，+∞）上遞減；
又φ（1）=e^-1+4＞0，φ（2）=e^-2+5＞0，φ（3）=e^-3+6＞0
φ（4）=e^-4+5＞0，φ（5）=e^-5+2＞0，φ（6）=e^-6-3＜0
所以當1≤x≤5時，恒有φ（x）＞0；當x≥6時，恒有φ（x）＜0；
故使命題成立的正整數m的最大值為5．

點評 本題考查導數知識的運用，考查函數的極值，考查函數的單調性，考查學生分析解決問題的能力，難度較大．