Question

3．一奶制品加工廠以牛奶為原料分別在甲、乙兩類設(shè)備上加工生產(chǎn)A、B兩種奶制品，如用甲類設(shè)備加工一桶牛奶，需耗電12千瓦時(shí)，可得3千克A制品；如用乙類設(shè)備加工一桶牛奶，需耗電8千瓦時(shí)，可得4千克B制品．根據(jù)市場(chǎng)需求，生產(chǎn)的A、B兩種奶制品能全部售出，每千克A獲利a元，每千克B獲利b元．現(xiàn)在加工廠每天最多能得到50桶牛奶，每天兩類設(shè)備工作耗電的總和不得超過480千瓦時(shí)，并且甲類設(shè)備每天至多能加工102千克A制品，乙類設(shè)備的加工能力沒有限制．其生產(chǎn)方案是：每天用x桶牛奶生產(chǎn)A制品，用y桶牛奶生產(chǎn)B制品（為了使問題研究簡(jiǎn)化，x，y可以不為整數(shù)）．
（Ⅰ）若a=24，b=16，試為工廠制定一個(gè)最佳生產(chǎn)方案（記此最佳生產(chǎn)方案為F₀），即x，y分別為何值時(shí)，使工廠每天的獲利最大，并求出該最大值；
（Ⅱ） 隨著季節(jié)的變換和市場(chǎng)的變化，以及對(duì)原配方的改進(jìn)，市場(chǎng)價(jià)格也發(fā)生變化，獲利也隨市場(chǎng)波動(dòng)．若a=24（1+4λ），b=16（1+5λ-5λ²）（這里0＜λ＜1），其它條件不變，試求λ的取值范圍，使工廠當(dāng)且僅當(dāng)采取（Ⅰ）中的生產(chǎn)方案F₀時(shí)當(dāng)天獲利才能最大．

Answer 1

分析 （1）設(shè)相應(yīng)的獲利為z，列出可行域，目標(biāo)函數(shù)，分別求出目標(biāo)函數(shù)的最大獲利即可．
（Ⅱ）（Ⅱ）為使z當(dāng)且僅當(dāng)x=20，y=30時(shí)取最大值，則直線z=3ax+4by的斜率-$\frac{3a}{4b}$滿足-$\frac{12}{8}＜-\frac{3a}{4b}＜-1$所以$\frac{4}{3}＜\frac{a}＜2，\frac{8}{9}＜\frac{1+4λ}{1+5λ-5{λ}^{2}}＜\frac{4}{3}$，$\left\{\begin{array}{l}{40{λ}^{2}-4λ+1＞0}\\{20{λ}^{2}-8λ-1＜0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{x∈R}\\{-\frac{1}{10}＜λ＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$即可

解答 解：設(shè)工廠每天的獲利為z元，由已知得z=3ax+4by，且
$\left\{\begin{array}{l}{12x+8y≤480}\\{x+y≤50}\\{3x≤102}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，作出可行域如圖所示．
（1）z=3ax+4by=72x+64y，當(dāng)）z=72x+64y對(duì)應(yīng)直線過點(diǎn)（20，30）時(shí)，z取最大值3360．
（Ⅱ）為使z當(dāng)且僅當(dāng)x=20，y=30時(shí)取最大值，則直線z=3ax+4by的斜率-$\frac{3a}{4b}$滿足-$\frac{12}{8}＜-\frac{3a}{4b}＜-1$
所以$\frac{4}{3}＜\frac{a}＜2，\frac{8}{9}＜\frac{1+4λ}{1+5λ-5{λ}^{2}}＜\frac{4}{3}$，

∴$\left\{\begin{array}{l}{40{λ}^{2}-4λ+1＞0}\\{20{λ}^{2}-8λ-1＜0}\end{array}\right.$
⇒$\left\{\begin{array}{l}{x∈R}\\{-\frac{1}{10}＜λ＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，又因?yàn)?＜λ＜1∴0＜λ＜$\frac{1}{2}$
故λ的取值范圍為（0，$\frac{1}{2}$）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性規(guī)劃的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．．