Question

（1）已知A（2，0），B（-1，2），點C在直線2x+y-3=0上，求△ABC重心G的軌跡方程．
（2）如果焦點是F（0，±5

2

）的橢圓截直線3x-y-2=0所得弦的中點橫坐標(biāo)為

1

2

，求此橢圓方程．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的重心坐標(biāo)公式，求得坐標(biāo)之間的關(guān)系，即可求得△ABC重心G的軌跡方程．
（2）根據(jù)焦點坐標(biāo)得出a²-b²=50，將直線的方程與橢圓的方程組成方程組，消去y得到關(guān)于x的方程，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得AB的中點的橫坐標(biāo)的表達(dá)式，最后根據(jù)聯(lián)立的方程求出其a，b，即可求橢圓的方程．

解答：解：（1）設(shè)△ABC重心G的坐標(biāo)為（x，y），C（m，n），則

3x=2-1+m 3y=0+2+n

∴m=3x-1，n=3y-2
∵點C在直線2x+y-3=0上，
∴2（3x-1）+（3y-2）-3=0
即6x+3y-7=0
∵A，B，C三點不共線
∴6x+3y-7=0(x≠

5

4

)；
（2）由題意可設(shè)橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），
∵c=5

2

，∴a²-b²=50①
把直線方程y=3x-2代入橢圓方程整理得（a²+9b²）x²-12b²x+b²（4-a²）=0．
設(shè)弦的兩個端點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由根與系數(shù)的關(guān)系可得，x₁+x₂=

12b2

a2+9b2

由中點坐標(biāo)公式可得，

12b2

a2+9b2

×

1

2

=

1

2

∴a²=3b²②
聯(lián)立①②可得，a²=75，b²=25
∴橢圓方程為

x2

25

+

y2

75

=1

點評：本題考查代入法求軌跡方程，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的綜合問題，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．