Question

18．直線l過點(diǎn)（1，3）且與圓M：x²+（y+1）²=4相交于P、Q，弦PQ長為2$\sqrt{3}$，則直線l的方程為x=1，或15x-8y+9=0．

Answer 1

分析 當(dāng)直線的斜率不存在時，求出直線方程檢驗(yàn)是否滿足條件；當(dāng)直線的斜率存在時，由弦長公式求出圓心到直線的距離等于d，由此求得斜率，即得所求的直線方程．

解答 解：圓M：x²+（y+1）²=4的圓心為（0，-1），半徑等于2．
當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為x=1，與圓的交點(diǎn)為（0，-1-$\sqrt{3}$），（0，-1+$\sqrt{3}$），弦長等于2$\sqrt{3}$，滿足條件．
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線y-3=k（x-1），kx-y+3-k=0，設(shè)圓心到直線的距離等于d，
∵2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{4-tix3kbr^{2}}$，∴d=1，由點(diǎn)到直線的距離公式得$\frac{|1+3-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
∴k=$\frac{15}{8}$，直線為15x-8y+9=0．
綜上，所求的直線方程為x=1，或15x-8y+9=0，
故答案為：x=1，或15x-8y+9=0．

點(diǎn)評 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，弦長公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．要注意考慮斜率不存在的情況．