Question

16．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A，B在拋物線y²=4x上，且滿足$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4，點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)△OFA，△OFB的面積分別是S₁，S₂，那么S₁•S₂等于（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{5}{2}$
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 設(shè)l過(guò)A、B的方程為：x=ty+b代入拋物線y²=4x，消去x，通過(guò)$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4，得到直線恒過(guò)的定點(diǎn)，判斷出A、B的位置，然后求出結(jié)果即可．

解答 解：設(shè)l過(guò)A、B的方程為：x=ty+b代入拋物線y²=4x，消去x得
y²-4ty-4b=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4b，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=（ty₁+b）（ty₂+b）+y₁y₂
=t²y₁y₂+bt（y₁+y₂）+b²+y₁y₂
=-4bt²+4bt²+b²-4b=b²-4b，
令b²-4b=-4，∴b²-4b+4=0∴b=2．
∴直線l過(guò)定點(diǎn)（2，0）．
當(dāng)x=2時(shí)，y=±2$\sqrt{2}$，此時(shí)|y₁y₂|取得最小值8，
∴S_△OFA•S_△OFB=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{1}{2}$×1×|y₁y₂|=$\frac{1}{4}$×8=2．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，三角形的面積的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．