Question

6．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+2x-2a-1，其中x=2sinθ（0＜θ≤$\frac{7π}{6}$），若二次方程f（x）=0恰有兩個(gè)不相等的實(shí)根x₁和x₂，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 由x=2sinθ（0＜θ≤$\frac{7π}{6}$），可得-1≤x≤2，問題轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布問題，根據(jù)圖象得出等價(jià)的不等式組，從而求得a的范圍．

解答 解：由x=2sinθ（0＜θ≤$\frac{7π}{6}$），可得x∈[-1，2]．
方程f（x）=0，即ax²+2x-2a-1=0．
由題意可得ax²+2x-2a-1=0在[-1，2]上有2個(gè)不等實(shí)數(shù)根．
由于二次函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸方程為x=-$\frac{1}{a}$，判別式△=4+4a（2a+1）=4（2a²+a+1）＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜-\frac{1}{a}＜2}\\{af（-1）=a（-a-3）≥0}\\{af（2）=a（2a+3）≥0}\end{array}\right.$，求得-3≤a≤-$\frac{3}{2}$，即a的范圍是[-3，-$\frac{3}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．