Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-1-ax，當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，討論函數(shù)F（x）=f（x）-xlnx零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：對(duì)F（x）=f（x）-xlnx進(jìn)行化簡，構(gòu)造函數(shù)h（x）=

ex-1

x

-xlnx（x＞0），研究函數(shù)h（x）的單調(diào)性和最值，即可確定F（x）=f（x）-xlnx在定義域內(nèi)是否存在零點(diǎn)；

解答： 解：函數(shù)F（x）=f（x）-xlnx的定義域?yàn)椋?，+∞），
由F（x）=0，得a=

ex-1

x

-xlnx（x＞0），
令h（x）=

ex-1

x

-xlnx（x＞0），
則h′（x）=

(ex-1)(x-1)

x2

，
由于x＞0，e^x-1＞0，可知當(dāng)x＞1，h′（x）＞0；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＜0，
故函數(shù)h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，2]上單調(diào)遞增，故h（x）≥h（1）=e-1．
又h（2）=

e2-1

4

又當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)?x＞0，有f（x）＞f（lna）=0，即e^x-1＞x，即

ex-1

x

＞1，
當(dāng)e-1＜a＜

e2-1

4

＜e-1時(shí)，函數(shù)F（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；
當(dāng)a=e-1或a=

e2-1

4

時(shí)，函數(shù)F（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a＜e-1或a＞

e2-1

4

時(shí)，函數(shù)F（x）沒有零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性和最值中的應(yīng)用，考查恒成立問題的解決方法，屬于中檔題．