Question

設(shè)d為非零實數(shù)，an=

1

n

[Cn1d+2Cn2d2+…+(n-1)Cnn-1+nCnndn](n∈N*)
（Ⅰ）寫出a₁，a₂，a₃并判斷﹛a_n﹜是否為等比數(shù)列．若是，給出證明；若不是，說明理由；
（Ⅱ）設(shè)b_n=nda_n（n∈N*），求數(shù)列﹛b_n﹜的前n項和S_n．

Answer 1

分析：本題考查的是數(shù)列求和問題，在解答時：
（Ⅰ）根據(jù)條件直接代入n值計算即可獲得a₁、a₂、a₃的值．然后利用，當n≥2，k≥1時，

k

n

C

k n

=

C

k-1 n-1

，對數(shù)列通向進行化簡可得a_n=d（d+1）^n-1，進而分類討論問題即可獲得解答；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：a_n=d（d+1）^n-1，進而可計算b_n，結(jié)合b_n的特點可利用成公比錯位相減法進行求解，注意分類討論即可獲得問題的解答．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知：a₁=d，a₂=d（1+d），a₃=d（1+d）²，
當n≥2，k≥1時，

k

n

C

k n

=

C

k-1 n-1

，
∴an=

1

n

C

1 n

d1+

2

n

C

2 n

d2+

3

n

C

3 n

 d3+…

n

n

C

n n

dn
=d（C_n-1⁰d⁰+C_n-1¹d¹+C_n-1²d²+…+C_n-1^n-1d^n-1）
=d（d+1）^n-1．
所以，當d≠-1時，{a_n}是以d為首項，d+1為公比的等比數(shù)列．
當d=-1時，a₁=-1，a_n=0（n≥2），此時{a_n}不是等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：a_n=d（d+1）^n-1，
∴b_n=nd²（d+1）^n-1=d²n（d+1）^n-1，
∴S_n=d²[1•（d+1）⁰+2•（d+1）¹+3•（d+1）²+…+（n-1）•（d+1）^n-2+n•（d+1）^n-1]，
當d=-1時，S_n=d²=1
當d≠-1時，
（d+1）S_n=d²[1•（d+1）¹+2•（d+1）²+3•（d+1）³+…+（n-1）•（d+1）^n-1+n•（d+1）ⁿ]，
∴-dS_n=d²[1+（d+1）+（d+1）²+（d+1）³+…+（d+1）^n-1-n（d+1）ⁿ]，
∴S_n=（d+1）ⁿ（nd-1）+1．
綜上可知：S_n=（d+1）ⁿ（nd-1）+1，n∈N*．

點評：本題考查的是數(shù)列求和問題，在解答的過程當中充分體現(xiàn)了同學們的運算能力、數(shù)據(jù)處理能力、分類討論的思想以及問題轉(zhuǎn)化的思想．值得同學們體會和反思．