Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F(4m，0)(m＞0，m為常數(shù))，離心率等于0.8，過(guò)焦點(diǎn)F、傾斜角為θ的直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)．

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若θ＝90°，，求實(shí)數(shù)m；

(3)試問(wèn)的值是否與θ的大小無(wú)關(guān)，并證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

（1）＝1.（2）m＝（3）無(wú)關(guān)

【解析】(1)∵c＝4m，橢圓離心率e＝＝，∴a＝5m.∴b＝3m.

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1.

(2)在橢圓方程＝1中，令x＝4m，解得y＝±.

∵當(dāng)θ＝90°時(shí)，直線MN⊥x軸，此時(shí)FM＝FN＝，∴＝.

∵＝，∴＝，解得m＝.

(3)的值與θ的大小無(wú)關(guān)．

證明如下：(證法1)設(shè)點(diǎn)M、N到右準(zhǔn)線的距離分別為d1、d2.

∵＝，＝，∴＝.

又由圖可知，MFcosθ＋d1＝－c＝，

∴d1＝，即＝.

同理，＝＝(－cosθ＋1)．

∴＝＋(－cosθ＋1)＝.

∴＝·＝.顯然該值與θ的大小無(wú)關(guān)．

(證法2)當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，由(2)知，的值與θ的大小無(wú)關(guān)．

當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為y＝k(x－4m)，

代入橢圓方程＝1，得(25k2＋9)m2x2－200m3k2x＋25m4(16k2－9)＝0.

設(shè)點(diǎn)M(x1，y1)、N(x2，y2)，∵Δ＞0恒成立，∴x1＋x2＝，x1·x2＝.

∵＝，＝，∴MF＝5m－x1，NF＝5m－x2.

∴＝.

顯然該值與θ的大小無(wú)關(guān)．