Question

過△OAB的重心G時直線與邊OA、OB分別交于P、Q，設

OP

=h•

OA

，

OQ

=k

OB

，試證：

1

h

+

1

k

=3．

Answer 1

考點：向量數(shù)乘的運算及其幾何意義

專題：平面向量及應用

分析：延長OG交邊AB與M，則M為AB邊中點，可得

OM

=

1

2

(

OA

+

OB

)=

1

2

(

1

h

OP

+

1

k

OQ

)=

1

2h

OP

+

1

2k

OQ

．又

OM

=

3

2

OG

，代入可得

OG

=

1

3h

OP

+

1

3k

OQ

．由于P、Q、G三點共線，且

OP

、

OQ

是不共線的向量．利用向量共線定理和平面向量基本定理可得

1

3h

+

1

3k

=1．

解答： 證明：延長OG交邊AB與M，則M為AB邊中點，
∴

OM

=

1

2

(

OA

+

OB

)=

1

2

(

1

h

OP

+

1

k

OQ

)=

1

2h

OP

+

1

2k

OQ

．
又

OM

=

3

2

OG

，
∴

OG

=

1

3h

OP

+

1

3k

OQ

．
∵P、Q、G三點共線，且

OP

、

OQ

是不共線的向量．
∴

1

3h

+

1

3k

=1，
即

1

h

+

1

k

=3．

點評：本題考查了三角形的重心的性質(zhì)、向量的平行四邊形法則、向量共線定理、平面向量基本定理，屬于難題．