Question

已知{a_n}為公差不為零的等差數(shù)列，首項a₁=a，{a_n}的部分項ak1、ak2、…、akn恰為等比數(shù)列，且k₁=1，k₂=2，k₃=5．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n（用a表示）；
（2）若數(shù)列{k_n}的前n項和為S_n，求S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè){a_n}的公差為d（d≠0），由a₁=a，a₂=a+d，a₅=a+4d成等比數(shù)列可得方程，解出后注意檢驗，用等差數(shù)列通項公式可求；
（2）由等差數(shù)列通項公式可表示出akn=(2kn-1)a1，再由等比數(shù)列通項公式表示出akn=a1•3n-1，由其相等可得k_n，然后利用分組求和可得結(jié)論；

解答： 解：（1）設(shè){a_n}的公差為d（d≠0），
由已知得a₁=a，a₂=a+d，a₅=a+4d成等比數(shù)列，
∴（a+d）²=a（a+4d），解得a=0或d=2a，
若a=0，則{a_n}為0，d，2d，3d，4d，…，這與a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列矛盾，
∴d=2a，
∴a_n=a₁+（n-1）d=（2n-1）a．
（2）由（1）可知a_n=（2n-1）a，
∴akn=(2kn-1)a1，
而等比數(shù)列{akn}的公比q=

a2

a1

=

a1+d

a1

=3．
∴akn=a1•3n-1，
因此akn=(2kn-1)a1=a1•3n-1，
∴kn=

3n-1+1

2

=

1

2

•3n-1+

1

2

，
∴Sn=(

1

2

×30+

1

2

×31+…+

1

2

×3n-1)+

1

2

×n=

1

2

•

1(1-3n)

1-3

+

n

2

=

3n+2n-1

4

．

點評：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及數(shù)列求和，考查學(xué)生分析解決問題的能力，熟記兩類特殊數(shù)列的通項公式及求和公式是解決問題的關(guān)鍵．