Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面ABB₁A，ACC₁A₁均為正方形，∠BAC=90°，AB=2，點D₁是棱B₁C₁的中點．
（I）求證：A₁D₁⊥平面BB₁C₁C；
（II）已知線段A₁B₁上的一點P，滿足直線AP與平面A₁D₁C所成角的正弦值為的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵A₁B₁=A₁C₁，點D₁是棱B₁C₁的中點．
∴A₁D₁⊥B₁C₁，
又∵BB₁⊥平面A₁B₁C₁，∴BB₁⊥B₁C₁，
又∵BB₁∩B₁C₁，
∴A₁D₁⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標系，∵AB=AC=AA₁=2，
∴A（0，0，0），A₁（0，0，2），C（0，-2，0），C₁（0，-2，2），B₁（-2，0，2），D₁（-1，-1，2）．
=（0，2，2），=（-1，1，2），
設平面A₁D₁C的法向量，
則即，
令y=-1，則z=1，x=1，∴．
設，0≤λ≤1，
∵=（-2，0，0），∴=（-2λ，0，0），P（-2λ，0，2），=（-2λ，0，2）．
∵直線AP與平面A₁D₁C所成角的正弦值為，
∴===，
化為3λ²-10λ+3=0，解得或3．
∵0≤λ≤1，
∴，即．
分析：（Ⅰ）利用線面垂直的判定定理即可證明；
（Ⅱ）通過空間直角坐標系，分別求出平面CA₁D₁的法向量及斜線AP的向量坐標，進而求出其夾角，即可解決問題．
點評：熟練掌握線面垂直的判定定理和通過建立空間直角坐標系求出法向量與斜向量的夾角是解決問題的關鍵．