【題目】如圖(示意),公路AMAN圍成的是一塊頂角為α的角形耕地,其中tanα=-2.在該塊土地中P處有一小型建筑,經(jīng)測量,它到公路AM,AN的距離分別為3km,km.現(xiàn)要過點P修建一條直線公路BC,將三條公路圍成的區(qū)域ABC建成一個工業(yè)園.為盡量減少耕地占用,問如何確定B點的位置,使得該工業(yè)園區(qū)的面積最。坎⑶笞钚∶娣e.

【答案】當(dāng)AB5km時,該工業(yè)園區(qū)的面積最小,最小面積為15km2

【解析】試題分析:先確定點P的位置,再利用BC的斜率表示工業(yè)園區(qū)的面積,利用導(dǎo)數(shù)求其最值.A為原點,ABx軸,建立平面直角坐標(biāo)系.因為tanα=-2,故直線AN的方程是y=-2x.設(shè)點P(x0,y0).因為點PAM的距離為3,故y03.由P到直線AN的距離為,得,解得x01x0=-4(舍去),所以點P(13).顯然直線BC的斜率存在.設(shè)直線BC的方程為y3k(x1),k(2,0).令y0xB1.由解得yC.設(shè)ABC的面積為S,則SxB×yC.由S0k=-k3.所以當(dāng)k=-時,即AB5時,S取極小值,也為最小值15

試題解析:解:

如圖1,以A為原點,ABx軸,建立平面直角坐標(biāo)系.

因為tanα=-2,故直線AN的方程是y=-2x

設(shè)點P(x0,y0)

因為點PAM的距離為3,故y03

P到直線AN的距離為,

,解得x01x0=-4(舍去),

所以點P(13)4

顯然直線BC的斜率存在.設(shè)直線BC的方程為y3k(x1),k∈(20)

y0xB16

解得yC8

設(shè)ABC的面積為S,則S×xB×yC10

S0k=-k3

當(dāng)-2k<-時,S0,S單調(diào)遞減;當(dāng)-k0時,S0,S單調(diào)遞增. 13

所以當(dāng)k=-時,即AB5時,S取極小值,也為最小值15

答:當(dāng)AB5km時,該工業(yè)園區(qū)的面積最小,最小面積為15km216

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】求下列曲線的標(biāo)準方程:
(1)與橢圓x2+4y2=16有相同焦點,過點p(),求此橢圓標(biāo)準方程;
(2)求以原點為頂點,以坐標(biāo)軸為對稱軸,且焦點在直線3x﹣4y﹣12=0的拋物線的標(biāo)準方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形.
(1)求證:BD⊥平面PAC;
(2)若PA=AB,求PB與AC所成角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為 , 焦距為2 , 過點D(1,0)且不過點E(2,1)的直線l與橢圓C交于A,B兩點,直線AE與直線x=3交于點M.
(1)求橢圓C的標(biāo)準方程;
(2)若AB垂直于x軸,求直線MB的斜率。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓:+=1,左右焦點分別為F1 , F2 , 過F1的直線l交橢圓于A,B兩點,若AF2+BF2的最大值為5,則橢圓方程為

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)ax3|xa|aR

1)若a=-1,求函數(shù)yf(x) (x [0,+∞))的圖象在x1處的切線方程;

2)若g(x)x4,試討論方程f(x)g(x)的實數(shù)解的個數(shù);

3)當(dāng)a0時,若對于任意的x1 [aa2],都存在x2 [a2,+∞),使得f(x1)f(x2)1024,求滿足條件的正整數(shù)a的取值的集合.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,點F1 , F2分別是橢圓C:的左、右焦點.點A是橢圓C上一點,點B是直線AF2與橢圓C的另一交點,且滿足AF1⊥x軸,∠AF2F1=30°.
(1)求橢圓C的離心率e;
(2)若△ABF1的周長為4 , 求橢圓C的標(biāo)準方程;
(3)若△ABF1的面積為8 , 求橢圓C的標(biāo)準方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知圓C1:x2+y2﹣3x﹣3y+3=0,圓C2:x2+y2﹣2x﹣2y=0,求兩圓的公共弦所在的直線方程及弦長.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)平面內(nèi)的向量 , ,點P在直線OM上,且
(1)求 的坐標(biāo);
(2)求∠APB的余弦值;
(3)設(shè)t∈R,求 的最小值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案