Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）若PA=AB，求PB與AC所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，
∴BD⊥平面PAC．
解：（2）設(shè)AC∩BD=O，∵∠BAD=60°，PA=PB=2，
∴BO=1，AO=CO=，
如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
則P（0，﹣，2），A（0，﹣，0），B（1，0，0），C（0，，0），
∴=（1，，﹣2），=（0，2，0），
設(shè)PB與AC所成角為θ，
則cosθ===．
∴PB與AC所成角的余弦值為．

【解析】（1）推導(dǎo)出AC⊥BD，PA⊥BD，由此能證明BD⊥平面PAC．
（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出PB與AC所成角的余弦值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用異面直線及其所成的角和直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線；2、補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系；一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．