Question

已知函數(shù)f（x）=

2ax+a2-1

x2+1

，其中a∈R．
（1）若a=1時，記h（x）=

1

2

mf(x)，g(x)=(lnx)2+2ex-2，存在x₁，x₂∈（0，1]使h（x₁）＞g（x₂）成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）g′(x)=

2lnx

x

+2e，g′(x)=0?x=e-1，
x∈（0，e^-1），g'（x）＜0，g（x）遞減；x∈（e^-1，1），g'（x）＞0，g（x）遞增，
∴g(x)min=g(e-1)=1，∴h（x）=

mx

1+x2

，
顯然m＞0，則h（x）在（0，1]上是遞增函數(shù)，h（x）_max=m，
∴m＞1，
所以存在x₁，x₂∈（0，1]使h（x₁）＞g（x₂）成立時，實數(shù)m的取值范圍是（1，+∞）；
（2）f′（x）=

-2(x+a)(ax-1)

(x2+1)2

，
①當a=0時，f′（x）=

2x

(x2+1)2

．
所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，在（-∞，0）上單調(diào)遞減，f（x）在[0，+∞）上不存在最大值和最小值；
當a≠0，f（x）=

-2a(x+a)(x- 1 a )

(x2+1)2

，
②當a＞0時，令f'（x）=0，得x₁=-a＜0，x2=

1

a

，f（x）與f'（x）的情況如下：

x	（0，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	f（x2）	↘

故f（x）的單調(diào)減區(qū)間是(

1

a

，+∞)；單調(diào)增區(qū)間是(0，

1

a

)．
當a＞0時，由上得，f（x）在(0，

1

a

)單調(diào)遞增，在(

1

a

，+∞)單調(diào)遞減，
所以f（x）在（0，+∞）上存在最大值f(

1

a

)=a2＞0．
又因為

lim

x→∞

f(x)=

lim

x→∞

2ax+a2-1

x2+1

=0，
設x₀為f（x）的零點，易知x0=

1-a2

2a

，且x0＜

1

a

．從而x＞x₀時，f（x）＞0；x＜x₀時，f（x）＜0．
若f（x）在[0，+∞）上存在最小值，必有f（0）≤0，解得-1≤a≤1．
所以a＞0時，若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，a的取值范圍是（0，1]．
③當a＜0時，f（x）與f'（x）的情況如下：

x	（0，x1）	x1	（x1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	f（x1）	↗

所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-a，+∞）；單調(diào)減區(qū)間是（0，-a），f（x）在（0，-a）單調(diào)遞減，在（-a，+∞）單調(diào)遞增，
所以f（x）在（0，+∞）上存在最小值f（-a）=-1．
又因為

lim

x→∞

f(x)=

lim

x→∞

2ax+a2-1

x2+1

=0，
若f（x）在[0，+∞）上存在最大值，必有f（0）≥0，解得a≥1，或a≤-1．
所以a＜0時，若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，a的取值范圍是（-∞，-1]．
綜上，a的取值范圍是（-∞，-1]∪（0，1]．