Question

已知直線l：ax-y+

2

-a=0（a∈R），圓O：x²+y²=4．
（Ⅰ）求證：直線l與圓O相交；
（Ⅱ）判斷直線l被圓O截得的弦何時(shí)最短？并求出最短弦的長(zhǎng)度；
（Ⅲ）如圖，已知AC、BD為圓O的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1，

2

），求四邊形ABCD的面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）判斷直線恒過(guò)定點(diǎn)，證明點(diǎn)在圓的內(nèi)部，即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，直線l過(guò)定點(diǎn)M(1，

2

)，當(dāng)l⊥OM時(shí)，弦長(zhǎng)最短；
（Ⅲ）設(shè)圓心O到AC、BD的距離為d₁、d₂，垂足分別為E、F，則四邊形OEMF為矩形，則有d12+d22=3，表示出AC，BD，可得四邊形ABCD的面積，利用基本不等式，即可求得最大值．

解答：（Ⅰ）證明：直線l：y-

2

=a(x-1)，所以直線l過(guò)定點(diǎn)(1，

2

)，
∵12+(

2

)2＜4，∴(1，

2

)在圓C內(nèi)部，
∴直線l與圓C相交．…3分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，直線l過(guò)定點(diǎn)M(1，

2

)，當(dāng)l⊥OM時(shí)，弦長(zhǎng)最短．…4分
∴kl=-

1

kOM

=-

2

2

，∴a=-

2

2

此時(shí)，l的方程為x+

2

y-3=0，圓心到直線的距離d=

3

1+2

=

3

所以最短弦長(zhǎng)：2

r2-d2

=2

4-3

=2…7分
（Ⅲ）解：設(shè)圓心O到AC、BD的距離為d₁、d₂，垂足分別為E、F，則四邊形OEMF為矩形，則有d12+d22=3
由平面幾何知識(shí)知：|AC|=2

4-d12

，|BD|=2

4-d22

∴S_{四邊形ABCD}=

1

2

|AC|•|BD|=2

4-d12

4-d22

≤(4-d12)+(4-d22)
=8-(d12+d22)=5（當(dāng)且僅當(dāng)d₁=d₂取等號(hào)）
∴四邊形ABCD的面積的最大值為5．…12分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查圓中弦長(zhǎng)的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．