Question

（本小題滿分13分）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為,

，其中．

（1）求的值；

（2）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；

（3）是否存在，使得 若存在，求出所有的n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）存在唯一的，使得成立．

【解析】

試題分析：（1）由，根據(jù)遞推公式可求得，所以有．

（2）由題設(shè)知： ，由此可證數(shù)列為等比數(shù)列；

（3）由 （2）知，所以．

由于，則令由題設(shè)中的遞推公式易得：由此求出求出的表達(dá)式，將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)方程問題．

試題解析： 【解析】
（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015060406024913009439/SYS201506040602595721876197_DA/SYS201506040602595721876197_DA.005.png">，所以．

（或者根據(jù)已知，可得．） 3分

（2）證明：,

，故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為－2的等比數(shù)列． 7分

（3）由（2）知，

所以．

設(shè)，

又

．

則由，得，

設(shè)，

則，

，所以在上單調(diào)遞增，

，即，所以在上單調(diào)遞增

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015060406024913009439/SYS201506040602595721876197_DA/SYS201506040602595721876197_DA.031.png">，

所以僅存在唯一的，使得成立． 13分

考點(diǎn)：1、數(shù)列的遞推公式；2、等差數(shù)列與等比數(shù)列；3、用函數(shù)方程的思想解決數(shù)列問題．