Question

（1）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n，前2n項(xiàng)和為S_2n，前3n項(xiàng)和為S_3n．求證：S_3n=3（S_2n-S_n）
（2）試推廣上述結(jié)論，并予以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)為a₁，公差為d，然后利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式代入等式左右兩邊得答案；
（2）推廣結(jié)論：S_（2k+1）n=（2k+1）（S_2kn-S_（2k-1）n）．利用（1）中的方法加以證明．

解答： 證明：（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a₁，公差為d，則
S3n=3na1+

3n(3n-1)d

2

，S2n=2na1+

2n(2n-1)d

2

，Sn=na1+

n(n-1)d

2

，
3（S_2n-S_n）=3(2na1+2n2d-nd-na1-

n2d

2

+

d

2

)=3na1+

9n2d-3nd

2

=3na1+

3n(3n-1)d

2

．
∴S_3n=3（S_2n-S_n）；
（2）推廣上述結(jié)論得：S_（2k+1）n=（2k+1）（S_2kn-S_（2k-1）n）．
證明：S(2k+1)n=(2k+1)na1+

(2kn+n)(2kn+n-1)d

2

，
（2k+1）（S_2kn-S_（2k-1）n）=(2k+1)[2kna1+

2kn(2kn-1)d

2

-(2kn-n)a1-

(2kn-n)(2kn-n-1)d

2

]
=(2k+1)[na1+

n(2kn+n-1)d

2

]=(2k+1)na1+

(2kn+n)(2kn+n-1)d

2

．
∴S_（2k+1）n=（2k+1）（S_2kn-S_（2k-1）n）．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了計(jì)算能力，是中檔題．