已知f（x）=x2+C，且f[f（x）]=f（x2+1）
（1）設(shè)g（x）=f[（x）]，求g（x）的解析式．
（2）設(shè)?（x）=g（x）-λf（x），試問是否存在實數(shù)λ，使?（x）在（-∞，-1）上是減函數(shù)，并且在（-1，0）上是增函數(shù)．
（1）由題意可知：
f（x）=x2+C，且f[f（x）]=f（x2+1）
∴（x2+c）2+c=（x2+1）2+c
∴x4+2cx2+c2=x4+2x2+1
∴
2c=2
c2=1
，解得：c=1．
∴f（x）=x2+1，∵g（x）=f[（x）]，
∴函數(shù)g（x）的解析式為：g（x）=x4+2x2+2．
（2）由（1）可知：f（x）=x2+1、g（x）=x4+2x2+2，
∵?（x）=g（x）-λf（x），
∴θ（x）=x4+（2-λ）x2+2-λ，∴θ′（x）=4x3+2（2-λ）x
假設(shè)存在使的?（x）在（-∞，-1）上是減函數(shù)，并且在（-1，0）上是增函數(shù)．
則θ′（-1）=0
∴-4-2（2-λ）=0，∴λ=4．
此時：θ（x）=x4-2x2-2，∴θ′（x）=4x3-4x．
由θ′（x）＞0解得，x∈（-1，0）∪（1，+∞）；
由θ′（x）＜0解得，x∈（-∞，-1）∪（0，1）．
故滿足題意．
所以存在λ=4使的?（x）在（-∞，-1）上是減函數(shù)，并且在（-1，0）上是增函數(shù)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=x2+ax+b（a，b∈R的定義域為[-1，1]．
（1）記|f(x)|的最大值為M，求證：M≥
1
2
.（2）求出（1）中的M=
1
2
時，f(x)的表達(dá)式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=x2+x+1，則f(
2
)=
 
；f[f(
2
)]=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=x2+2x，數(shù)列{an}滿足a1=3，an+1=f′（an）-n-1，數(shù)列{bn}滿足b1=2，bn+1=f（bn）．
（1）求證：數(shù)列{an-n}為等比數(shù)列；
（2）令cn=
1
an-n-1
，求證：c2+c3+…+cn＜
2
3
；
（3）求證：
1
3
≤
1
1+b1
+
1
1+b2
+…+
1
1+bn
＜
1
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=x2-x+k，若log2f（2）=2，
（1）確定k的值；
（2）求f(x)+
9f(x)
的最小值及對應(yīng)的x值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=x2+（a+1）x+lg|a+2|（a≠-2，a∈R），
（Ⅰ）若f（x）能表示成一個奇函數(shù)g（x）和一個偶函數(shù)h（x）的和，求g（x）和h（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）和g（x）在區(qū)間（-∞，（a+1）2]上都是減函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，比較f(1)和
16
的大小．

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