分別求適合下列條件的曲線的標準方程:
(1)焦點 為F1(0,-1)、F2(0,1)且過點M(
3
2
,1)橢圓;
(2)求經(jīng)過點A(0,4),B(4,6)且圓心在直線x-2y-2=0上的圓的方程;
(3)與雙曲線x2-
y2
2
=1有相同的漸近線,且過點(2,2)的雙曲線.
分析:(1)由已知條件設(shè)橢圓的標準方程為:
x2
a2-1
+
y2
a2
=1
,把點M(
3
2
,1)代入能求出橢圓方程.
(2)設(shè)圓心坐標為(a,b),由題意列出方程組求出圓心坐標和圓半徑,由此能求出圓的方程.
(3)設(shè)與雙曲線x2-
y2
2
=1有相同的漸近線的雙曲線方程為x2-
y2
2
=λ(λ≠0)
,把點(2,2)代入能求出雙曲線方程.
解答:解:(1)∵橢圓焦點為F1(0,-1)、F2(0,1),
∴設(shè)橢圓的標準方程為:
x2
a2-1
+
y2
a2
=1
,
∵橢圓過點M(
3
2
,1),
9
4
a2-1
+
1
a2
=1
,
解得a2=4,或a2=
1
4

∴橢圓方程為:
x2
3
+
y2
4
=1

(2)設(shè)圓心坐標為(a,b),由題意知:
a2+(b-4)2
=
(a-4)2+(b-6)2
a-2b-2=0
,
解得a=4,b=1,
∴圓心為(4,1),
圓半徑r=
(4-0)2+(1-4)2
=5,
∴圓的方程為(x-4)2+(y-1)2=25.
(3)設(shè)與雙曲線x2-
y2
2
=1有相同的漸近線的雙曲線方程為:
x2-
y2
2
=λ(λ≠0)
,
把點(2,2)代入,得λ=4-
4
2
=2

∴雙曲線方程為
x2
2
-
y2
4
=1
點評:本題考查橢圓方程、圓的方程、雙曲線方程的求法,是基礎(chǔ)題,解題時要認真審題,注意代入法的合理運用.
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