Question

【題目】已知函數(shù)在處取到極值為．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；（2）．

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合題意得到關(guān)于a，b的方程，求出a，b的值，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（2）問題等價(jià)于在上恒成立，令，則只需即可，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷求解即可．

解：（1）由已知定義域?yàn)?/span>，

，

由，又，得，

，所以，

所以，又．

由得：x＞2；由得：x＜0或0＜x＜2．

故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是；單調(diào)遞增區(qū)間是.

（2）問題等價(jià)于在x∈上恒成立，

令，

則只需即可．

，

令，

則．

所以在上單調(diào)遞增，

又，，

所以有唯一的零點(diǎn)，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

因?yàn)?/span>，兩邊同時(shí)取自然對數(shù)，則有，

即．

構(gòu)造函數(shù)，則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

又，所以，即．

所以，即，

于是實(shí)數(shù)k的取值范圍是．