Question

19．已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足${a_1}=1，{a_{n+1}}=\frac{1}{2}{a_n}+1（n∈N*）$，通過(guò)計(jì)算a₁，a₂，a₃，a₄可猜想a_n=$\frac{{{2^n}-1}}{{{2^{n-1}}}}$．

Answer 1

分析 由已知中數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足${a_1}=1，{a_{n+1}}=\frac{1}{2}{a_n}+1（n∈N*）$，通過(guò)計(jì)算a₂，a₃，a₄，分析分子分母的變化規(guī)律，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足${a_1}=1，{a_{n+1}}=\frac{1}{2}{a_n}+1（n∈N*）$，
當(dāng)n=1時(shí)，${a}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{1}+1$=$\frac{3}{2}$，
當(dāng)n=2時(shí)，${a}_{3}=\frac{1}{2}{a}_{2}+1$=$\frac{7}{4}$，
當(dāng)n=1時(shí)，${a}_{4}=\frac{1}{2}{a}_{3}+1$=$\frac{15}{8}$，
…
歸納可得：a_n=$\frac{{{2^n}-1}}{{{2^{n-1}}}}$．
故答案為：$\frac{{{2^n}-1}}{{{2^{n-1}}}}$

點(diǎn)評(píng) 歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀(guān)察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．