Question

20．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線為x=-2，過(guò)點(diǎn)（0，-2）的直線l與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，且線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則直線l的斜率為（　�。�

• A． 2或-1
• B． -1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 先求出拋物線的方程，再設(shè)過(guò)點(diǎn)M（0，-2）的直線方程為y=kx-2，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，可求直線l的斜率．

解答 解：∵拋物線C：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程為x=-2，
∴$\frac{p}{2}$=2，解得p=4，
∴拋物線C的方程為：y²=8x．
設(shè)過(guò)點(diǎn)M（0，-2）的直線方程為y=kx-2，
代入拋物線方程，可得k²x²+（-4k-8）x+4=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{8+4k}{{k}^{2}}$
∵線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，
∴$\frac{8+4k}{{k}^{2}}$=4
解得k=2或-1，k=-1時(shí)，△=0，不符合題意，
∴k=2，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的方程，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．