Question

10．函數(shù)f（x）的圖象是由函數(shù)g（x）=sinxcosx的圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的$\frac{1}{2}$，再整體向右平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位得到的．
（1）寫出函數(shù)f（x）的解析式，并求它的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上最大值與最小值，及相應(yīng)的x值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)g（x）的解析式，再利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得f（x）的解析式，從而求得它的最小正周期．
（2）根據(jù)x∈[0，$\frac{π}{4}$]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上最大值與最小值，及相應(yīng)的x值．

解答 解：（1）把函數(shù)g（x）=sinxcosx=$\frac{1}{2}$sin2x 的圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的$\frac{1}{2}$，可得y=$\frac{1}{2}$sin4x的圖象；
再整體向右平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位，可得函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$sin4（x-$\frac{π}{12}$）=$\frac{1}{2}$sin（4x-$\frac{π}{3}$）的圖象，
故f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{4}$]，∴4x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
故當(dāng)4x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{3}$，即x=0時(shí)，f（x）取得最小值為-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
當(dāng)4x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{5π}{24}$時(shí)，f（x）取得最大值為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二倍角的正弦公式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．