Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若存在，使得（是自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）在單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；（2）.

【解析】試題分析：（1）依據(jù)題設條件先求導再運用導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系分析探求；（2）先將不等式進行等價轉(zhuǎn)化，再構(gòu)造函數(shù)運用導數(shù)的知識分析探求：

試題解析：

解：（1） .

當時，；

當時；當時.

故函數(shù)在單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.

（2）因為存在，使得成立，

而當時，，

所以只要即可.

又因為，，的變化情況如下表所示：

所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以當時，的最小值，的最大值為和中的最大值.

因為 ，

令，因為，

所以在上是增函數(shù).

而，故當時，，即；

當時，，即.

所以，當時，，即，

函數(shù)在上是增函數(shù)，解得；

當時，，即，

函數(shù)在上是減函數(shù)，解得.

綜上可知，所求的取值范圍為.