Question

已知正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且對一切n∈N⁺，a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²；
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（3）若b_n=2ⁿ+（-1）ⁿm•a_n是遞增數(shù)列，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合,數(shù)列的函數(shù)特性,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用已知條件通過n=1，2，3，即可求a₁，a₂，a₃的值；
（2）寫出

a

3 1

+

a

3 2

+…+

a

3 n

+

a

3 n+1

=

S

2 n+1

，通過作差，推出a_n+1-a_n=1（n≥2），然后求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（3）化簡b_n=2ⁿ+（-1）ⁿm•a_n表達式，利用遞增數(shù)列，得到m的不等式，通過構(gòu)造函數(shù)然后求實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵a_n＞0，令n=1得，

a

3 1

=

S

2 1

=

a

2 1

⇒a1=1
令n=2得，

a

3 1

+

a

3 2

=

S

2 2

⇒1+

a

3 2

=(1+a2)2⇒a2=2
令n=3得，

a

3 1

+

a

3 2

+

a

3 3

=

S

2 3

⇒1+8+

a

3 3

=(3+a3)2⇒a3=3
（2）

a

3 1

+

a

3 2

+…+

a

3 n

=

S

2 n

…①

a

3 1

+

a

3 2

+…+

a

3 n

+

a

3 n+1

=

S

2 n+1

…②
由②-①：

a

3 n+1

=

S

2 n+1

-

S

2 n

=(Sn+1-Sn)(Sn+1+Sn)=an+1(Sn+1+Sn)
∴

a

2 n+1

=Sn+1+Sn，

a

2 n

=Sn+Sn-1(n≥2)
∴

a

2 n+1

-

a

2 n

=an+1+an⇒an+1-an=1(n≥2)
又a₂-a₁=1，
∴{a_n}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列
∴an=n(n∈N+)
（3）由（2）得：bn=2n+(-1)nm•n，又{b_n}是遞增數(shù)列，
即：bn＜bn+1(n∈N+)恒成立；
當(dāng)n=2k（k∈N⁺）時，bn＜bn+1(n∈N+)?m＜

4k

4k+1

(k∈N+)恒成立，
設(shè)ck=

4k

4k+1

，ck+1-ck=

4k(12k-1)

(4k+1)(4k+5)

＞0⇒ck＜ck+1⇒m＜

4

5

；
同理，當(dāng)n=2k-1（k∈N⁺）時，bn＜bn+1(n∈N+)恒成立?m＞-

4k

2(4k-1)

(k∈N+)?m＞-

2

3

；
綜上可得：m∈(-

2

3

，

4

5

)

點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，數(shù)列的通項公式的求法，考查恒成立的知識，考查分析問題解決問題的能力以及轉(zhuǎn)化思想．