Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，動點E到定點和定直線的距離相等.

（1）求動點E的軌跡C的方程；

（2）設(shè)動直線與曲線C有唯一的公共點P，與直線相交于點Q，若，求證：點M的軌跡恒過定點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（1）設(shè)出動點E的坐標為（x，y），然后直接利用拋物線的定義求得拋物線方程；

（2）聯(lián)立直線方程和拋物線方程，化為關(guān)于y的一元二次方程后由判別式等于0得到k與b的關(guān)系，求出Q的坐標，求出切點坐標，再設(shè)出M的坐標，然后由證得答案．

（1）解：由拋物線定義可知，動點E的軌跡是以（1，0）為焦點，以x＝﹣1為準線的拋物線，其方程為：y2＝4x；

（2）證明：由，消去x得：ky2﹣4y+4b＝0．

由題意可知，直線l與拋物線相切，

∴△＝16﹣16kb＝0，即b．

∴直線l的方程為y＝kx．

令x＝﹣1，得y＝﹣k，

∴Q（﹣1，﹣k），

設(shè)切點坐標P（x0，y0），則，

解得：P（，），

設(shè)M（m，0），

則（m，）（m+1，k）＝（m）（m+1）

mm22＝（m﹣1）（m﹣2）．

當m＝1時，．

故點M的軌跡恒過定點（1，0）．