Question

【題目】已知函數(shù).

（1）證明：函數(shù)在區(qū)間上存在唯一的極小值點(diǎn)；

（2）證明：函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）由導(dǎo)函數(shù)解析式可確定導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞增；利用零點(diǎn)存在性定理可知存在唯一使得，由此可確定單調(diào)性，從而得到結(jié)論；

（2）①當(dāng)時(shí)，由可知單調(diào)遞減，由此可確定為的一個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，由零點(diǎn)存在定理和（1）中單調(diào)性，可確定存在唯一的零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，令，由可確定單調(diào)遞增，則，由此可確定，進(jìn)而得到無零點(diǎn)；綜合三種情況可得結(jié)論.

（1）

當(dāng)時(shí)，函數(shù)和單調(diào)遞減

函數(shù)單調(diào)遞增

又由，

故存在唯一使得

且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增

故函數(shù)在區(qū)間上存在唯一的極小值點(diǎn)

（2）①當(dāng)時(shí)，由

又由，，可得，故在區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞減

又由，故有

可得此時(shí)函數(shù)的零點(diǎn)為

②當(dāng)時(shí)，由，

由（1）可知，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，令

則，故此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增

有

又由，故對(duì)，有

所以在區(qū)間上函數(shù)沒有零點(diǎn)

綜上所述，函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)