Question

11．設(shè)k為常數(shù)，求f（x）=$\frac{{x}^{2}+k+1}{\sqrt{{x}^{2}+k}}$的最小值．

Answer 1

分析 將f（x）變形為$\sqrt{{x}^{2}+k}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+k}}$（x²＞-k），討論①k≤1，運用基本不等式即可得到最小值2；②k＞1時，令$\sqrt{{x}^{2}+k}$=t，（t＞1），運用函數(shù)的單調(diào)性，即可得到最小值．

解答 解：f（x）=$\frac{{x}^{2}+k+1}{\sqrt{{x}^{2}+k}}$=$\sqrt{{x}^{2}+k}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+k}}$（x²＞-k），
①若k≤1，f（x）≥2$\sqrt{{x}^{2}+k}$•$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+k}}$=2，
當且僅當$\sqrt{{x}^{2}+k}$=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+k}}$即有x=±$\sqrt{1-k}$時，f（x）取得最小值2．
②若k＞1時，令$\sqrt{{x}^{2}+k}$=t，（t＞1），
y=t+$\frac{1}{t}$的導數(shù)y′=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$＞0，
則y=t+$\frac{1}{t}$在（1，+∞）遞增，
則有t=$\sqrt{k}$時，f（x）取得最小值，且為$\frac{（1+k）\sqrt{k}}{k}$．
即有k≤1時，f（x）取得最小值2；
k＞1時，f（x）取得最小值為$\frac{（1+k）\sqrt{k}}{k}$．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，主要考查基本不等式的運用和函數(shù)的單調(diào)性的運用，運用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．