Question

【題目】如圖，已知橢圓的左頂點(diǎn)為，過(guò)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，直線(xiàn)，分別交直線(xiàn)于點(diǎn)，.

（1）試判斷以線(xiàn)段為直徑的圓是否過(guò)點(diǎn)，并說(shuō)明理由；

（2）記，，的斜率分別為，，，證明：，，成等差數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）以線(xiàn)段為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，理由見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）設(shè)直線(xiàn)斜率為，求出點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理解出的坐標(biāo)，同理可得設(shè)直線(xiàn)斜率為，求出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三點(diǎn)共線(xiàn)，，得出兩條直線(xiàn)斜率關(guān)系，再通過(guò)計(jì)算得出，即可得證；

（2）根據(jù)第一問(wèn)所求點(diǎn)的坐標(biāo)及斜率關(guān)系計(jì)算出，化簡(jiǎn)即可得證.

（1）以線(xiàn)段為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，證明如下：

由題意知直線(xiàn)斜率存在且不為零，

設(shè)直線(xiàn)斜率分別為，設(shè)，直線(xiàn)方程為，則點(diǎn)坐標(biāo)為

聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程：

，整理得：，其根為兩點(diǎn)橫坐標(biāo)，

根據(jù)韋達(dá)定理，

所以，

即點(diǎn)的坐標(biāo).

同理可得設(shè)直線(xiàn)斜率分別為，點(diǎn)坐標(biāo)為

解得點(diǎn)的坐標(biāo)為

三點(diǎn)共線(xiàn)，，即

，

所以，即以線(xiàn)段為直徑的圓過(guò)點(diǎn)；

（2）由（1）可得，，

，

所以，，成等差數(shù)列.