Question

【題目】如圖，已知橢圓的左頂點為，過右焦點的直線交橢圓于，兩點，直線，分別交直線于點，.

（1）試判斷以線段為直徑的圓是否過點，并說明理由；

（2）記，，的斜率分別為，，，證明：，，成等差數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）以線段為直徑的圓過點，理由見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）設(shè)直線斜率為，求出點坐標(biāo)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理解出的坐標(biāo)，同理可得設(shè)直線斜率為，求出點坐標(biāo)，根據(jù)三點共線，，得出兩條直線斜率關(guān)系，再通過計算得出，即可得證；

（2）根據(jù)第一問所求點的坐標(biāo)及斜率關(guān)系計算出，化簡即可得證.

（1）以線段為直徑的圓過點，證明如下：

由題意知直線斜率存在且不為零，

設(shè)直線斜率分別為，設(shè)，直線方程為，則點坐標(biāo)為

聯(lián)立直線與橢圓的方程：

，整理得：，其根為兩點橫坐標(biāo)，

根據(jù)韋達(dá)定理，

所以，

即點的坐標(biāo).

同理可得設(shè)直線斜率分別為，點坐標(biāo)為

解得點的坐標(biāo)為

三點共線，，即

，

所以，即以線段為直徑的圓過點；

（2）由（1）可得，，

，

所以，，成等差數(shù)列.