已知動點到點的距離，等于它到直線的距離．

(1)求點的軌跡的方程；

（2）過點任意作互相垂直的兩條直線，分別交曲線于點和．

設(shè)線段，的中點分別為，求證：直線恒過一個定點；

（3）在（2）的條件下，求面積的最小值

 

【答案】

（Ⅰ）設(shè)動點的坐標(biāo)為，由題意得，，

化簡得，所以點的軌跡的方程為．      

（Ⅱ）設(shè)兩點坐標(biāo)分別為，，則點的坐標(biāo)為．由題意可設(shè)直線的方程為 ，

由得.

.

因為直線與曲線于兩點，所以，．所以點的坐標(biāo)為.

由題知，直線的斜率為，同理可得點的坐標(biāo)為.

當(dāng)時，有，此時直線的斜率.

所以，直線的方程為，

整理得.于是，直線恒過定點；

當(dāng)時，直線的方程為，也過點．

綜上所述，直線恒過定點．        

（Ⅲ），面積.

當(dāng)且僅當(dāng)時，“”成立，所以面積的最小值為．

【解析】略

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（14分）已知動點到點的距離與到直線的距離之比為。

（I）求動點的軌跡C的方程；

（Ⅱ）若過點的直線與曲線在軸左側(cè)交于不同的兩點，點滿足

     ，求直線在軸上的截距的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知動點到點的距離與到直線的距離之比為。

（I）求動點的軌跡C的方程；（Ⅱ）若過點的直線與曲線在軸左側(cè)交于不同的兩點，點滿足  ，求直線在軸上的截距的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2015屆江蘇鹽城中學(xué)高二上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題

已知動點到點的距離等于它到直線的距離，則點的軌跡方程是       .

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年廣東省高三5月高考模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知動點到點的距離與到直線的距離之比為定值，記的軌跡為．

（1）求的方程，并畫出的簡圖；

（2）點是圓上第一象限內(nèi)的任意一點，過作圓的切線交軌跡于，兩點．

（i）證明：；

（ii）求的最大值．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年重慶市高三高考前沖刺試卷文數(shù) 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知動點到點的距離比它到軸的距離多·

（Ⅰ）求動點的軌跡方程；

（Ⅱ）設(shè)動點的軌跡為，過點的直線與曲線交于兩點，若軸正半軸上存在點使得是以為直角頂點的等腰直角三角形，求直線的方程.

 

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